TOPLUMUN MATEMATİĞİ
CAN BAŞKENT
0.
Dünya’da ekonomi bilmine yön veren önemli üniversitelerin doktora programlarına baktığınızda oldukça tuhaf bir özellik dikkatinizi çeker. Bu üniversiteler, yetiştirdikleri genç bilim adamlarının iktisat tarihi ve iktisat kuramlarını bilip bilmemelerini pek umursamamaktadır. Zira ders programları ve araştırma sahaları geleneksel iktisattan uzaklaşmış ve de daha matematiksel ve istatistiki bir alana kaymıştır. Dahası, yetiştirdikleri öğrencilerin de bu manada, matematikte kuvvetli ancak sosyal bilimlerde zayıf olmaları, sözünü ettiğim ekollerde bir rahatsızlık yaratmamaktadır. Örneğin, bu üniversitelerden doktora alıp, Marks hakkında bir satır bile okumamamış bir çok iktisat doktoru vardır ve var olacaktır. Öte yandan, örneğin, fizik doktoru olup, araştırma sahası olsun olmasın, bir araştırmacının görecelik ya da kuantum kuramları hakkında tek satır bile okumamış olması tahayyül bile edilemez.
Peki, bu iktisat bölümlerinde ne okutuluyor? Alfred Nobel anısına verilen İsveç Merkez Bankası Ekonomi ödülünü son 15 yılda alan bilimadamlarına yakından bakınca, iktisat bilmindeki yeni eğilimi görmek mümkün. John Nash’ten, Robert Aumann’a, Amartya Sen’den, Kenneth Arrow ve John Harsanyi’ye dek bir çok iktisatçının ortak bir noktası var.
1.
Politik bilimci Steven Brams ve matematikçi Alan Taylor’un 15 yıl önce akademik düzeydeki ünlü bir matematik dergisinde yayınladıkları “Kıskançlığa Yer Vermeyen Bir Kek Paylaşım Yöntemi” adlı makale, oldukça önemli bir probleme net bir çözüm getirir. Değindiğim problem, adil paylaşım problemidir.
Önünüzde bir kek olduğunu varsayalım. Yaklaşımımız matematiksel manada basit olsun ve dolayısıyla bu kekin dairesel değil de baton bir kek olduğunu var sayalım. Basitten başlayalım. İki kişi arasında, ölçme araçları kullanmadan ve daha da önemlisi iki tarafında birbirini kıskanmasına yer bırakmayacak şekilde, bu keki nasıl paylaştırırsınız?
Bu sorunun klasik yanıtı şudur. Taraflardan biri keki istediği şekilde, elinden geldiğince adil bir şekilde ikiye böler. Diğer taraf da istediği parçayı seçip kendine alır. Bu yöntemin en önemli noktası, değindik, kıskançlığa yer bırakmamasıdır. Zira, keki kesen taraf, kendi dilediği gibi böler ve bu bölme işleminde, diğer tarafın seçim yapacağını bildiği için elinden geldiği kadar adil olmalıdır. Dolayısıyla, ikinci tarafın seçiminden sonra, birincinin şikayet etme hakkı olmayacaktır. İstediği parçayı seçen taraf da, benzer şekilde, istediği parçayı almıştır ve şikayet edip diğer tarafı kıskanması için bir nedeni yoktur.
Bu yöntem uzun yıllardır bilinen, bilmecelere dahi konu olan, basit ve bir o kadar güzel bir çözüm. Problemin ikiden fazla taraf için çözümü 1940‘larda Polonyalı ünlü matematikçiler Banach ve Knaster tarafından verildi, ardından da değindiğim gibi Brams ve Taylor tarafından da genel bir çözüme ulaşıldı. Karmaşık matematiksel içeriği nedeniyle bu çözümlere burada değinmeyeceğim. Ancak Knaster algoritması, matematiğe yatkın okurlar için belirteyim, oldukça estetik ve akıllıca bir çözüm yöntemidir ve ben dahil, matematiğe aşina bir çok kişi tarafından hayranlıkla tekrar tekrar okunur.
2.
Adil kek paylaşımı gibi oldukça kolay anlaşılır - zor çözülür bir problemin varlığı, aklımıza benzer nitelikte başka bir oyun getirecektir: Satranç. Zira satranç, oyun kuramı ya da matematiksel adalet fikriyatının oluşmasında evrimsel bir önceliğe sahiptir.
Oyun kuramının fikri temelleri büyük matematikçi Zermelo’nun, ki matematiğe aşina okur Zermelo ismini belitsel kümeler kuramından hatırlayacaktır, 1912 yılında satranç üzerine geliştirdiği ünlü teoremle atılır. Bu teoremde Zermelo, taraflardan birinin kazanıp diğerinin kaybettiği ya da iki tarafın berabere kalabileceği oyunlarda, daima bir kazanan strateji olduğunu ispatlar. Diğer bir deyişle, kazanan oyuncu, rakibi nasıl oynarsa oynasan oyunu kazanabilecektir, yani bu oyuncunun bir kazanma stratejisi olacaktır. Teoremin kanıtı olmayana ergi yöntemiyle işlediği için Zermelo bu stratejinin nasıl elde edileceğini ve ne olduğunu göstermez. Zermelo’nun içinde yetiştiği matematiksel gelenek, öte yandan, sadece Zermelo’yu yetiştirmekle kalmayacaktır.
Oyun kuramının, bugün anladığımız manadaki temelleri, Avusturya matematik ve iktisat çevresinden gelir. John von Neumann ve Oskar Morgenstern, 1944’te yayınladıkları ve hala okullarda okutulan dillere destan eserleri “Oyun Kuramı ve İktisadi Davranış” ile modern oyun kuramının temellerini atarlar. Kitap, her iki yazar da Princeton’dayken yazılır; von Neumann İleri Araştırmalar Enstitüsü’nde, Morgenstern de Princeton Üniversitesi’ndedir. Von Neumann’in İleri Araştırmalar Enstitüsü’ndeki ve daha önceki araştırmaları belitsel kümeler kuramında, mantıkta, teorik bilgisayar bilimlerinde ve kuantum mekaniğinde oldukça ama oldukça önemli etkiler bırakmıştır. Buna şaşırmamak lazım, zira sözü edilen araştırma enstitüsünde von Neumann’ın arkadaşları arasına fizikçi Einstein ve mantıkçı Gödel de bulunmaktadır - kaldı ki von Neumann’ın Gödel’in kuramlarını ilk anlayanlardan olduğu bilinen gerçeklerden biridir. Morgenstern de Viyana Çevresi [der Wiener Kreis] ile ilişkili, kuantum mekaniğinin açtığı çığırdan etkilenmiş ve matematiksel yöntemleri iktisatta daha da fazla kullanmaya heves duyan bir iktisatçıdır. Avusturya iktisat ekolünün bir ürünü olan anarko-kapitalizmi (hayır hayır, oksimoronik bir terim değildir bu) Yeni Dünya’ya taşıyan ve dolayısıyla Rawls ve Nozick gibi bir çok modern düşünürü etkileyen akımdandır Morgenstern.
İkinci Dünya Savaşı esnasında oyun kuramı betimlediğim aşamada, ilk adımlarını atıyordu. Savaş sonrası ise oyun kuramının güçlendiği ve kendini kabul ettirdiği bir dönem olacaktır, zira saha, üniversitelerde kabul görmüş, kapitalist “bencillik” ve “kendi çıkarını düşünme” diskurlarını formelleştirme zemininde eşsiz bir gereç sunmuştur.
3.
Ünlü filmden anımsadığımız matematikçi ve iktisatçı John Nash’i ünlü yapan, Nash dengesi adı verilen matematiksel kurgudur. Bu denge, oyun kuramının temel kavramlarından biridir ve bir çok araştırmacıya göre Nash’in ünlü ödülü almasındaki en önemli ve geçerli nedendir. Nash bu kurguyu Princeton Üniversitesi’nde yazdığı 28 (yazıyla, yirmi sekiz) sayfalık doktora tezinde geliştirmiştir.
Peki Nash dengesi nedir? Nash dengesi, iki ya da daha fazla oyuncunun dahil olduğu ve tarafların birbirlerinin oyun stratejilerini ve menfaatlerinin dağılımını kamusal olarak bildikleri bir oyundaki denge halidir. Bu denge halinde, hiç bir oyuncu farklı bir strateji takip ederek kendi kazancını artıramaz. Diğer bir deyişle, daha tanıdık bir jargon kullanalım, Nash dengesi bireysel mutluluğu yok saymadan, toplumsak mutluluğu maksimize eden denge halidir. Nash dengesinde, diğer oyuncuların stratejileri sabit kalmak kaydıyla, diğer bir oyuncunun başka bir stratejiyi takip etmesi o oyuncunun kazancını artırmayacaktır. Diğer bir deyişle, denge halinden bireysel sapmalar, bireysel kazanca dönüşmeyecektir. Bu, stratejik karar alma süreçlerinin etkileşimli bir çeşidir.
Ünlü bir örnekle açıklayalım. Anacağımız örnek, Mahkum’un Açmazı, 1950’de ortaya atılmış ve literatürde defalarca tartışılmış bir oyundur. İki şüphelinin polis tarafından tutuklandığını ve polisin de zanlıların aleyhine yeterli kanıtı olmadığını düşünelim (senaryonun kulağa tanıdık gelmesi sadece bir tesadüf). Bu nedenle, iki şüphelinin ayrı ayrı sorguya alındığını ve her ikisine de suçlarını itiraf etmeleri için aynı teklifin götürüldüğünü düşünelim: Eğer, iki şüpheliden biri suçu itiraf ederse ve suçu diğerine atarsa ve diğer şüpheli sessiz kalıp itirafta bulunmazsa, itirafçı serbest bırakılacak, sessiz kalansa on yıl hapis cezası alacaktır. Eğer şüphelilerin ikisi birden sessiz kalırsa, her ikisine sadece 1 yıl ceza verilecektir. Son olarak, eğer her ikisi de eş zamanlı olarak diğerine ihanet edip, birbirleri aleyhine itirafta bulunursa, her ikisi de beş yıl ceza alacaktır. İki şüphelinin birbirini önceden tanımadığını ve önceden bir anlaşmaları olmadığını ve sorgulama esnasında haberleşemeyeceklerini varsayalım. Böyle bir durumda mahkumlar nasıl bir strateji takip etmelidirler?
Her iki mahkumun da, makul bir varsayım olarak, hapiste mümkün olduğu kadar az süre geçirmek istediğini düşünürsek, bu oyunun Nash denge hali nedir? Şaşırtıcı bir şekilde, denge hali her iki oyuncunun da birbirine eş zamanlı olarak ihanet edip beşer yıl ceza aldıkları durumdur. Zira bu koşullar altında, bireysel “uyanıklıklar” bir fayda getirmeyecektir.
Bu oyunun politik bilimlerde, evrimsel biyoloji ve antropolojide, iklim bilimde bir çok uygulaması mevcuttur. Ancak, fark edileceği üzere, sunduğumuz analiz sadece menfaatler üzerinden işlemektedir. Ahlak, oyunda bir kıstas değildir. Bu hususa birazdan tekrar döneceğiz.
4.
Arrow ve Sen’in formel iktisada en önemli katkıları, benim subjektif perspektifimden düşünürsek, geliştirdikleri imkansızlık teoremleridir.
Kenneth Arrow, elli bir yaşında ödüle layık görülmüş olmasıyla, şimdiye dek Alfred Nobel anısına verilen iktisat ödülünü en genç yaşta alan araştırmacı olmuştur. Adıyla anılan imkansızlık teoremi matematiksel iktisatta önemli bir çığır açmıştır. Teorem, adil oylama yöntemlerini ve bu yöntemlerin bireysel tercihleri oylama vasıtasıyla toplumsal tercihlere ne kadar başarılı yansıtabileceğini tartışır.
Bu minvalde, arzuladığımız oylama yönteminin kimi özellikleri taşımasını bekleyebiliriz. Arrow’un teoreminde değinilen üç özellik şudur. Eğer her seçmen A’yı B’ye tercih ediyorsa, grup da A’yı B’ye tercih etmelidir. Diğer bir deyişle, grup iradesi, bireylerin toplam iradesinin tersine işlememelidir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta her seçmenin A’yı B’ye tercih etmesidir. İkinci koşulsa, benzer koşullarda eğer her seçmen A’yı B’ye tercih ediyorsa, seçmen pusulasına C’yi eklemek grubun A’yı B’ye tercih etmesini etkilememelidir. Son koşulsa, sistemin içerisinde diktatöre izin vermeyecek olmamızdır. Yani, tek bir seçmenin (diktatörün kendisi) oyu diğer seçmenlerin oylarına baskın çıkmamalıdır.
Bu üç koşul kulağa oldukça hoş geliyor. Oldukça basit ve anlaşılır varsayımlarla adil bir seçim sisteminin temellerini inşa etme çalışması olarak değerlendirilebilir bu kaygılar pek ala. Ancak, Arrow, bu şartları taşıyan adil bir seçim sisteminin olamayacağını ispatlamıştır. Hayal kırıklığı yaratan bu teorem, tuhaftır, bana hep düşünmeden doğru bildiğimiz bir çok hususun aslında matematikçe ne kadar hassas ve kusurlu olduğunu gösteriyor. Toplumun işleyişinin matematiksel analizi, görünen o ki, politik algımızı sarsmaktadır.
Öte yandan, bu teoreme dayanarak, Amartya Sen - ki kendisi halen Harvard Üniversitesi’nde iktisat ve felsefe profesörüdür - ünlü paradoksunu geliştirmiştir. Sadece akademik alanda değil, toplumsal mecralarda yaptığı yayınlarla da Sen, oldukça ses getiren bir düşünür olmuştur. Bu ve benzer çalışmaları ona Alfred Nobel anısına verilen iktisat ödülüyle beraber, sekseni aşkın onursal doktora kazandırmıştır.
Sen’in paradoksunu tartışmaya başlamazdan önce Nash dengesine benzer bir optimallik kurgusundan söz etmeliyiz. İtalyan iktisatçı Pareto’nun adıyla anılan bu kavram diğerlerine zarar vermeden fertlerin kendi bireysel kazançlarını artırmalarını inceler.
Verili bir paylaşım yönteminden, en az bir fertin bireysel kazancını artırıp, diğerlerininkini azaltmadan yeni bir paylaşım yöntemi elde edebileceğimizi varsayalım. Diğer bir deyişle, bir grubun ya da bireyin gelirini artırıken, diğerlerine zarar vermediğimizi düşünelim. Eğer bu yöntem aracılığıyla bir grup veya bireyin kazancını artık daha da artıramıyorsak, bu durum Pareto optimal bir durumdur. Yani, gruba zarar vermeyecek şekilde her birey kendi kazancını maksimize etmiştir. Kulağa oldukça tutarlı ve müreffeh gelen bir kavram. Fakat, dikkat etmeli, bu kavram toplumun genel refahını ya da kazancını göz önüne almamaktadır. Arrow, başka bir teoreminde, mükemmel ideal koşullar altında serbest piyasanın Pareto dengesine yol açacağını göstermiştir. Ancak, Arrow’un idealize koşulları, reel iktisat manasında gülünüp geçilecek kadar çok hayalperestçedir.
Sen’in paradoksu Pareto optimal bir liberalin var olamayacağını gösterir. Peki Sen’in sisteminde liberal nasıl tanımlanır? Sen’e göre liberal, en az bir seçim üzerinde toplumun iradesinden bağımsız söz hakkı olan bireydir. Diğer bir deyişle, ben liberal bir toplumda yaşıyorum zira bugün sinemada izleyeceğim filmi ben seçiyorum, toplumun dayattığı filmi seyretmiyorum. Fark edilecektir, liberalizm, diktatörlüğü -yukarıda tanımladık- dışlamaktadır.
Sen’in paradoksunu, yazarın kendi makalesinde verdiği örneği kullanarak izah edelim. Varsayalım ki kişi 1 ve kişi 2, bir kitabı okumaya ilişkin farklı önceliklere sahip olsun. Bu öncelikleri betimlemek için kimi kısaltmaları kullanalım: Kişi 1 kitabı okumasını (x) ile, Kişi 2‘nin kitabı okumasını (y) ile ve de kimsenin kitabı okumamasını (z) ile gösterelim. Kişi 1; z’yi x’e, x’i de y’ye tercih etmektedir. Dolayısıyla, artan bir tercih sıralamasıyla, Kişi 1’in duruma yaklaşımı (y, x, z) şeklindedir. Kişi 2 içinse bu tercih artan sıralamayla (z, y, x) şeklindedir, zira Kişi 2 kitabın okunmasını, okunmamasına tercih etmekte ve eğer biri okuyacaksa, okuyanın diğeri, Kişi 1, olmasını tercih etmektedir. Buraya kadar bir problem yok, zira bu kişisel tercihlerin nasıl oluşturulduğu ve arkasındaki psikolojik nedenler şu anda odak noktamızı oluşturmuyor ve dahası hemen her kişisel tercihi bu şekilde matematikselleştirebiliriz.
Şimdi, Kişi 1’in kitabı okuması durumuyla (x), kimsenin kitabı okumaması durumunu (z) karşılaştıralım. Kişi 1’in tercih sıralamasına göre, z, x’e baskındır. Öte yandan, Kişi 2‘nin sıralamasına göre, x, z’ye baskındır. Dolayısıyla, bu tercih sıralamaları x ve z arasnda bir seçim yapamamaktadır. O halde y ile z’yi örneğin ele alalım. Benzer şekilde, her iki kişinin tercihleri bu iki tercih arasında da çelişen bir sonuç vermektedir. Dolayısıyla, liberal ve Pareto bir dünyada kitabı kimin okuyacağına karar veremeyiz.
Bu çelişki, liberal Pareto zihniyetin imkansızlığını gösterir. Peki, bunun sosyal mücadele ve eşitlikçi iktisat zeminindeki yansıması nelerdir? Bu soru, işbu makalede yanıtlamaktan imtina edeceğimiz sorulardan biri olsun. Zira, Hume’u takip edelim. Olandan, olması gerekeni çıkarsamaya gayret etmeyeceğiz ve bu gayreti gösterenlere de Hume’un verdiği yanıtı vereceğiz: “Commit it then to the flames, for it can be nothing but sophistry and illusion.” [Ateşe atın bunu zira çelişki ve yanılsamadan başka bir şey içermemekte.].
5.
Arrow’un kuramını irdelerken değindik. Oylama yöntemleri matematiksel açıdan göründüğü kadar basit değildir ve bu yöntemlerinin adil olmasına ilişkin tartışmalar oldukça ateşlidir. Malum, Türkiye, aklını peynir ekmekle yemiş birinin bile fark edebileceği derecede adaletsiz bir seçim sistemine sahiptir ve bunun nedenleri hepimizin malumu. Dahası, bu hususun ardındaki matematiksel nedenler hala sadece Türkiye’de değil bir çok diğer toplumda da, nedenini bilmiyorum, yeteri kadar tartışılmıyor ve matematik tanrısının mistik bir lütfü olarak görülüyor.
Fakat, kuramsal manada en azından, oylama yöntemlerinin matematiksel olarak ilerletilmesi ve bireylerin iradelerinin mümkün olduğunca çok yansıtılması önemli bir problemdir. Amerikan Matematik Derneği, örneğin, bu konudaki araştırmalarını Amerikan Kongresi’ne sunarak, daha adil ve eşitlikçi bir oylama sistemi önermiş ve bunun matematiksel kanıtlarını sunmuştur. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, Amerikan Kongresi bu değişikliği yapmamış, dillere destan ahmaklığını sürdüren Amerikan seçim sistemi aynen muhafaza edilmiştir (İlgili okur Obama - McCain çekişmesinde tarafların aldığı oy yüzdelerine ve tarafların kazandığı sandalye sayısına bakıp aradaki manalı farkın nereden geldiğini düşünebilir. Benzer şekilde, önceki seçimde, oğul Bush’un, biraderinin valisi olduğu Florida’da şikeyle kazanmasını sağlayan da bu manasız sistemdi.).
Dolayısıyla, sadece matematikçiler değil elbette oylamaya dayalı temsili seçim yöntemlerini daha da adil ve hakkaniyetçi bir şekilde revize etmeye çalışanlar. Anarşistler de, apayarı bir kulvardan oyuna dahil olmakta ve özellikle Arrow’un ve Sen’in sonuçlarını kullanmaktan çekinmeyerek, temsili demokrasiye dayalı parlamenter rejimlerin, a priori bir şekilde düzeltilemez kusurları olduğunu vurgulamaktadır. Matematiksel manevralarla sistemi rötuşlamaktansa, sistemin ilgası için çabalamak, bir çok anarşiste göre oldukça verimli ve rasyonel bir adımdır. Zira, genel seçim yönteminde, dikkatli bakıldığında fark edilecektir, seçmen sayısı arttıkça, ezilen ve iradesini idareye yansıtamayan birey sayısı da artacaktır. Zannediyorum, sadece Türkiye tarihini göz önünde bulundurmak dahi bize bu konuda gani gani örnek sunacaktır.
Burada durup sormamız gereken elbette şudur: “Demokrasi matematiksel olarak bile bir hayal midir?”
6.
Yukarıda zikrettiğimiz yaklaşımların hepsi bencil bir menfaat savaşımını yansıtıyor. Ahlak, bu analizde bir kriter olarak belirmiyor. Dahası, ahlakı bu kavramsallaştırmalara katmaya gayret ettiğimiz vakit; yaptığımız tek şey, ahlakı tatmin getiren bir menfaat metası olarak kavramsallaştırıp bir nesnel tatmine indirgemek oluyor. Sunduğumuz bu çerçevede ahlak, bir ihtiyacın (ahlaki doyum) tatmini olarak yeniden konumlandırılıyor.
Bu makalenin mütevazi iki iddiası var. Birincisi, adaletin ve felsefi ya da moral eşitliğin, bölüşüm imgesini reelleştirmek gerekliliği nedeniyle, içkin bir matematiksel yaklaşım gerektirdiğidir. Kek bölüştürme probleminde bunu dile getirdik. Bir keki ikiden fazla kişi arasında adil bölüştürmek probleminin çözümü ancak 20. yüzyılda ortaya çıkabilmiştir. Önceki makalelerimde açık açık irdeledim. Bu adil bölüşüm anlayışını sadece keklere sınırlandırmamalı, tüm kişisel ve toplumsal ilişkilere uygulama basiretini gösterebilmeliyiz. Bu, politik bir zorunluluk olmanın ötesinde, ahlakın gündelik hayatta korkmadan uygulanabilir olduğunu gösterecektir. Zira, aksi takdirde, ünlü bir Türk düşünürünün dediği gibi, eşitlik istediğimiz zaman “karımızı göndermemiz” dahi gerekebilir!
İkinci iddiam ise, Türkiye’nin de kullandığı D’Hondt seçim sistemi ya da değil, seçim sistemlerinin matematiksel bir imkansızlık barındırdığının altını kalın kalın çizmek ve bunun ötelemelerine artık sırtımızı dönmememiz gerekliliğidir. Bu imkansızlık teoreminin, anarşizmi desteklediğini iddia etmek naiflik olur. Zira, anarşizm, kategorik olarak adil bir seçim sistemini bile moral özneliğin geçişkenliğini varsayması nedeniyle reddedecektir. Eh, artık adım adım bu yazının sonucuna yaklaştığımı düşünüyorum.
Doğrudan demokrasi sadece bir hayal değil, demek ki, matematiksel bir zorunluluktur.